二叉树基本概念
二叉树(Binary tree)是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,即使是一般的树也能简单地转换为二叉树,而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单,因此二叉树显得特别重要。
二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树,且有左右之分。
详细介绍请参考:二叉树的概念
遍历类型
由于二叉树每个节点有不同的方向,所以我们必须指定一个遍历的顺序,不同的遍历顺序得到的结果也不一样,所以一般分为深度优先遍历(前序遍历
,中序遍历
,后续遍历
),和广度优先遍历(层序遍历
)。
对于前序遍历
,中序遍历
,后续遍历
而言,是以根节点为主,根在前表示前序,根在中间表示中序,根在后,表示后续,而左右两个节点按照左在前,右在后的顺序,所以,这三种遍历的方式他们的顺序分别是:
前序遍历:访问根结点->遍历左子树->遍历右子树
后续遍历:遍历左子树->遍历右子树->访问根结点
中序遍历:遍历左子树->访问根结点->遍历右子树
如下图二叉树:
深度优先遍历 | 先序遍历 | 中序遍历 | 后序遍历 |
解释 | 对任一子树,先访问根,然后遍历其左子树,最后遍历其右子树。 即根节点->左子树->右子树。 | 对任一子树,先遍历其左子树,然后访问根,最后遍历其右子树。 即左子树->根节点->右子树。 | 对任一子树,先遍历其左子树,然后遍历其右子树,最后访问根。 即左子树->右子树->根节点。 |
原则 | ①输出根。 ②访问左子树。【先访问左子树中的左子树,再访问左子树中的右子树。】直到访问到叶子节点后输出。 ③访问右子树。【先访问右子树中的左子树,再访问右子树中的右子树。】直到访问到叶子节点后输出。 | ①访问左子树。【先访问左子树中的左子树,再访问左子树中的右子树。】直到访问到叶子节点后输出。 ②输出根。 ③访问右子树。【先访问右子树中的左子树,再访问右子树中的右子树。】直到访问到叶子节点后输出。 | ①访问左子树。【先访问左子树中的左子树,再访问左子树中的右子树】。直到访问到叶子节点后输出。 ②访问右子树。【先访问右子树中的左子树,再访问右子树中的右子树】。直到访问到叶子节点后输出。 ③再返回访问根,并输出。 |
遍历步骤 | A作为根,先输出A。 从A开始,先访问A的左子树。B为左子树的根节点,输出B。B的左子树为D,输出D。D无左右子树,则看B的右子树,为E,输出E。E无左右子树,则A的左子树全部输出完。 再访问A的右子树,C为右子树的根节点,输出C。C的左子树为F,输出F。F无左右子树,且C无右子树,A的右子树全部输出完。 | A作为根。从A开始,先访问A的左子树。 B的左子树为D,输出D。D无左右子树,则B的左子树已访问完,访问并输出B。再看B的右子树,为E,输出E。E无左右子树,则A的左子树全部输出完,返回并输出A。 同理,再看A的右子树。 C的左子树为F,输出F。F无左右子树,则C的左子树已访问完,返回并输出C。C无右子树,则A的右子树全部输出完。 | 先访问A的左子树。再访问左子树中的左子树。即A的左子树为B,再访问B的左子树D。D没有左右子树,输出D。 然后访问左子树中的右子树。即访问B的右子树E,E没有左右子树,输出E。再输出B。 然后访问A的右子树。再访问右子树中的左子树。即A的右子树为C,再访问C的左子树F。F没有左右子树,输出F。 然后访问右子树中的右子树。即访问C的右子树,C没有右子树,输出C。再输出A。 |
遍历结果 | A(BDE)(CF) | (DBE)A(FC) | (DEB)(FC)A |
PHP用递归、非递归方式实现深度优先遍历二叉树
1、先序遍历
<?php class Node { public $value; public $left; public $right; } class BT { // 非递归 // 前序遍历 根节点→左子树→右子树 // 先访问根节点,再遍历左子树,最后遍历右子树;并且在遍历左右子树时,仍需先遍历根节点,然后访问左子树,最后遍历右子树 public function preOrder($root) { $stack = array(); array_push($stack, $root); while (!empty($stack)) { $center_node = array_pop($stack); echo $center_node->value . " "; // 先输出根节点 if ($center_node->right != null) { array_push($stack, $center_node->right); // 压入左子树 } if ($center_node->left != null) { array_push($stack, $center_node->left); } } } // 递归 // 前序遍历 public function pre_order($root) { if ($root != null) { echo $root->value . " "; // 根 if ($root->left != null) { $this->pre_order($root->left); //递归遍历左树 } if ($root->right != null) { $this->pre_order($root->right); //递归遍历右树 } } } } // 测试 $a = new Node(); $b = new Node(); $c = new Node(); $d = new Node(); $e = new Node(); $f = new Node(); $a->value = "A"; $b->value = "B"; $c->value = "C"; $d->value = "D"; $e->value = "E"; $f->value = "F"; $a->left = $b; $a->right = $c; $b->left = $d; $b->right = $e; $c->left = $f; $bst = new BT(); echo "----深度优先----"; echo "</br>"; echo "非递归--前序遍历:"; $bst->preOrder($a); echo "</br>"; echo "递归--前序遍历:"; $bst->pre_order($a); PHP用递归、非递归方式实现二叉树的先序遍历
2、中序遍历
class Node { public $value; public $left; public $right; } class BT { // 非递归 // 中序遍历 // 左子树→根节点→右子树 public function inOrder($root) { $stack = array(); $current_node = $root; while (!empty($stack) || $current_node != null) { while ($current_node != null) { array_push($stack, $current_node); $current_node = $current_node->left; } $current_node = array_pop($stack); echo $current_node->value . " "; $current_node = $current_node->right; } } // 递归 // 中序遍历 public function in_order($root) { if ($root != null) { if ($root->left != null) { $this->in_order($root->left); // 递归遍历左树 } echo $root->value . " "; if ($root->right != null) { $this->in_order($root->right); // 递归遍历右树 } } } } // 测试 $a = new Node(); $b = new Node(); $c = new Node(); $d = new Node(); $e = new Node(); $f = new Node(); $a->value = "A"; $b->value = "B"; $c->value = "C"; $d->value = "D"; $e->value = "E"; $f->value = "F"; $a->left = $b; $a->right = $c; $b->left = $d; $b->right = $e; $c->left = $f; $bst = new BT(); echo "----深度优先----"; echo "</br>"; echo "非递归--中序遍历:"; $bst->inOrder($a); echo "</br>"; echo "递归--中序遍历:"; $bst->in_order($a); echo "</br>"; PHP用递归、非递归方式实现二叉树的中序遍历
3、后序遍历
<?php class Node { public $value; public $left; public $right; } class BT { // 非递归 // 后序遍历 左子树→右子树→根节点 // 先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根节点;同样,在遍历左右子树的时候同样要先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根节点 public function postOrder($root) { $stack = array(); $out_stack = array(); array_push($stack, $root); while (!empty($stack)) { $center_node = array_pop($stack); array_push($out_stack, $center_node); // 最先压入根节点,最后输出 if ($center_node->left != null) { array_push($stack, $center_node->left); } if ($center_node->right != null) { array_push($stack, $center_node->right); } } while (!empty($out_stack)) { $center_node = array_pop($out_stack); echo $center_node->value . " "; } } // 递归 // 后序遍历 public function post_order($root) { if ($root != null) { if ($root->left != null) { $this->post_order($root->left); // 递归遍历左树 } if ($root->right != null) { $this->post_order($root->right); // 递归遍历右树 } echo $root->value . " "; // 根 } } } // 测试 $a = new Node(); $b = new Node(); $c = new Node(); $d = new Node(); $e = new Node(); $f = new Node(); $a->value = "A"; $b->value = "B"; $c->value = "C"; $d->value = "D"; $e->value = "E"; $f->value = "F"; $a->left = $b; $a->right = $c; $b->left = $d; $b->right = $e; $c->left = $f; $bst = new BT(); echo "----深度优先----"; echo "</br>"; echo "非递归--后序遍历:"; $bst->postOrder($a); echo "</br>"; echo "递归--后序遍历:"; $bst->post_order($a); echo "</br>"; PHP用递归、非递归方式实现二叉树的后序遍历
PHP用递归、非递归方式实现广度优先遍历二叉树
层序遍历
<?php class Node { public $value; public $left; public $right; } class BT { // 非递归 public function levelOrder($root) { if ($root == null) { return; } $node = $root; $queue = array(); array_push($queue, $node); // 根节点入队 while (!empty($queue)) { // 持续输出节点,直到队列为空 $node = array_shift($queue); // 队首元素出队 echo $node->value . " "; // 左节点先入队 if ($node->left != null) { array_push($queue, $node->left); } // 然后右节点入队 if ($node->right != null) { array_push($queue, $node->right); } } } // 递归 // 获取树的层数(最大深度) function getDepth($root) { if ($root == null) { // 节点为空 return 0; } if ($root->left == null && $root->right == null) { // 只有根节点 return 1; } $left_depth = $this->getDepth($root->left); $right_depth = $this->getDepth($root->right); return ($left_depth > $right_depth ? $left_depth : $right_depth) + 1; // return $left_depth > $right_depth ? ($left_depth + 1) : ($right_depth + 1); } public function level_order($root) { // 空树或层级不合理 $depth = $this->getDepth($root); if ($root == null || $depth < 1) { return; } for ($i = 1; $i <= $depth; $i++) { $this->printTree($root, $i); } } public function printTree($root, $level) { // 空树或层级不合理 if ($root == null || $level < 1) { return; } if ($level == 1) { echo $root->value; } $this->printTree($root->left, $level - 1); $this->printTree($root->right, $level - 1); } } // 测试 $a = new Node(); $b = new Node(); $c = new Node(); $d = new Node(); $e = new Node(); $f = new Node(); $a->value = "A"; $b->value = "B"; $c->value = "C"; $d->value = "D"; $e->value = "E"; $f->value = "F"; $a->left = $b; $a->right = $c; $b->left = $d; $b->right = $e; $c->left = $f; $bst = new BT(); echo "----广度优先----"; echo "</br>"; echo "非递归:"; $bst->levelOrder($a); echo "</br>"; echo "递归:"; $bst->level_order($a); PHP用递归、非递归方式实现二叉树的层次遍历